Beklenti Maksimizasyonu Algoritması

Beklenti makzimizasyonu algoritması, literatürde Expectation Maksimation (EM) diye geçmektedir. Bu algoritmanın amacı, örnek küme üzerinde bazı tespitler yapılır ancak bunlardan bir kısmı eksik veya hatalı parametrelerle temsil edildiği durumlarda kullanılabilir. Özellikle istatistiksel uygulamalar ile istatistiksel örüntü tanıma sistemlerinde oldukça kullanılabilen bir yöntemdir.

Tanım yaparken üzerini vurguladığım gibi bu algoritma istatistiksel yöntemlere dayanmaktadır. Bu algoritmayı uygulamak için ilkönce hatalı veya eksik olan verilen tespit edilir. Daha sonra ise tespit edilen parametrelerin örnek küme üzerindeki büyüklükleri yani tespit edilen parametreler kaç elemana ait olduğu çıkartılır. Çıkartılan bu sayıların kullanım amacı örnek kümeye ait olasılık yoğunluk fonksiyonun içinde kullanılacağındandır. Bu tür dağılımlar tekrar eden dağılımlardır.  Benzer bir uygulama olarak:

Benzer Bir f(x)

Daha sonra tüm veriler işlemlerde kullanmak için yeni değişkenlere atanır. Hatalı verilerin değişkenleri en az iki tane olmalıdır, çünkü eğer tek değişkenden ibaret olursa zaten ona eşit olurdu. Hatalı veriler bu sebepten en az iki değişkene atanmalıdır.

Çi: x₁ N: x₂ H: x₃ + x₄ ÇH: x₅ (2)

Yukarıda görülen örnekte görüldüğü gibi hatalı veriye sahip ‘H’ verisi iki tane değişken biçiminde yer almıştır.

Daha sonra örnek küme üzerindeki veriler incelenir ve bu verilere ait olasılık dağılımları belirlenir. Bu dağılımlar hatalı veya eksik veri olasılığı olan “p” ile yazılırlar. Yani burada p’ yi kullanarak beklentinin makzime edilmesinin yolu açılmış olur. Örnek olarak dağılım:

P(Çİ)= 0.2,  P(N)= 0.6-0.5p,  P(H)= 0.2 + 0.25p,  P(ÇH) = 0.25p (3)

Yukarıdaki gibi olasılık dağılımları çıkartılır ve daha sonra olasılık yoğunluk fonksiyonunun kurulmasına geçilir. Bu kurulum yukarıda ki f(x,p) fonksiyonudur. Bu fonksiyonda ilk kısım yani,  faktoriyel işleminin hesaplanmasına gerek yoktur. Çünkü bu işlem ilerde görüleceği gibi türev alma işleminden sonra “0” a eşit olacaktır. Bunun yerine işlem kolaylığı açısından “A” demek yeterli olacaktır.

Olasılık dağılımında dikkat edilirse bazı parametreler aynı üst altında yazılmıştır. Bunun sebebi değişken atamadır. Değişken atamalardan sonra aynı köke sahip kökler çıkacaktır. Yani:

P(x₁) = 0.2 , P(x₂) = 0.6-0.5p , P(x₃) = 0.2 , P(x₄) = 0.25 , P(x₅) = 0.25p ‘dir.

Burada görüleceği gibi x₁ ile x₂ , x₄ ile x₅ aynı köklere sahiptir. Bu da olasılık yoğunluk fonksiyonu üzerinde görülebilir.

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun bu şekliyle işlemlerde kullanılması oldukça zordur. İşlemleri kolaylaştırma için bu fonksiyonun doğal logaritması alınır.

ln(f(x,p)) =ln A+ (x₁+x₃) ln() + x₂ ln(0.6-0.5p) + (x₄+x₅) ln(0.25p)

Daha sonra literatürde E-Step denilen beklenti adımına geçilir. Bu adımda olasılık yoğunluk fonksiyonun beklentisi alınır. Fonksiyon üzerinde hatalı veriye ait değişkenler hariç diğerlerinin hepsi bilinir. Yani beklenti adımından sonra:

E(ln(f(x,p))) = ln A+ (x₁+x₃) ln() + x₂ ln(0.6-0.5p) + (+x₅) ln(0.25p)

Fonksiyon bu hale gelecektir. Burada x₃ ve x₄ haricindeki bütün x’ler bilinmektedir. Bu x’ler problemin tanımında bilinene değişkenlerdir. Yine burada k’lı yazımın sebebi k. iterasyonu vurgulamaktır.

Daha sonra bu fonksiyonun  türevi alınır ve sonuç sıfıra eşitlenir. İşlem içindeki p’ler yalnız bırakılır. Bu adıma literatürde M-Step yani makzimizasyon adımı denir. Amaç yakınsayan “p” değerleri için bilinmeyen parametrelerin bulunmasıdır.

p(k+1)

Burada işlem içerisinde bulunan x₄ değeri problem üzerinde ki olasılık dağılımlarından yola çıkılarak bulunur. Bu amaçla ilkönce birden küçük olan bir p değeri verilir. Daha sonra:

X(k+1)'in Bulunusu

Burada -2.6 değeri hatalı verinin başlangıç değeridir. 0.25p değeri ise olasılık oranından kaynaklanmaktadır. X₄ ün olasılık oranına 0.25p düşmektedir. Bunun yanı sıra oran için hatalı veriye düşen tüm olasılığa bölünmüşlerdir.    Burada bulunan  değeri , P^k+1 değerinin bulunması için kullanılır. Bu işlemler belirli bir noktadan sonra sabit değerler almaya başlar. İstenilen değerler o sabit değerler olacaktır. Algoritmanın genel şekli:

EM Algoritması

Can EROL
Fatih Üniversitesi Elektronik Mühendisliği

Basit Bir Nem Sensörü ve Nem Ölçen Devre

Çalışmakta olduğumuz ortamdaki sıcaklık, nem, ışık … gibi olgular bizim çalışma şartlarımızı belirler. Yaptığımız birçok tasarım çevresel şartlara bağımlıdır. Örneğin, 150 C’ de maksimum çalışma noktası olan bir entegreyi 200 C’ de çalıştırmamız ya devreye zarar verecektir ya da devremizin işlevinde bozulmaya yol açabilir. Dolayısıyla bir tasarım için ortam şartlarını ölçümü ve buna göre devrenin cevaplandırma yapması önemlidir.

Bu ortam şartlarından biri de nem sensörleridir. Piyasada birçok ad ve markada nem sensörleri mevcuttur. Bunlar genellikle nem uyarıcı ve sensör kontrol devreleri ile satılır ya da sadece entegre şeklinde bulabiliriz.

Set halindeki nem ölçüm cihazlarının, ölçümlerinde başarılı olmalarının yanında fiyatları oldukça pahalıdır. Diğer yandan sadece entegre ile ölçüm yapılacak ölçümlerde entegrelerin ölçüm şekillerine ve hassasiyetlerine bağlı elektronik devre oluşturulması zorunludur.

Basit bir nem sensörü yapımı için, elimizde bir ince cam boru ile iki ince tel biçimde iki kılcal platin çubuk kullanımı yeterlidir.

Nem Sensörünün Basit Gösterimi

Çalışma prensibine inceleyecek olursak; iki ucu delik olan cam borunun arasından nem hava geçtikçe, cam boru içerisinde nem oluşacaktır. Nem oluştukça; platin çubuklar arasında direnç oluşacaktır. Platin çubuklar arasındaki dirençlilik ölçüldüğünde; ilk başta direnç değerlerinin sıfır olmasına karşın, ölçüme devam edildiğinde 1-2Mohm civarına hatta 500Kohm seviyelerine düşebilir.

Bu dirençlilik bir mikro denetleyici devresiyle ölçülebilir. Bunun daha önceden belirlediğin bir referans değerindeki dirence ihtiyaç vardır. Burada seri hatlar üzerindeki devre elemanlarının giriş gerilimini dirençleri oranın da paylaştıkları göz önünde tutulur. (Örneğin 5V giriş gerilimi olan devrece 2 ve 3 ohm değerinde iki direnç varsa; 2 ohm’luk direnci değeri 2V, 3 ohm’luk direncin değeri 3V olacaktır.)

Örnek Bir Nem Sensörü Devresi

Devrede de görüldüğü gibi, sensöre seri olarak bir referans direnci bağlanmıştır. Ölçümü mikro denetleyici ile yapacağımızdan dolayı, giriş pin’i analog/dijital çevirici pin’lerinden biri olmalıdır. Gün geçtikçe değişen analog/dijital çeviriciler bize yüksek hassasiyetli ölçüm olanakları sunmaktadır. Örneğin; 10 bit analog/dijital çevirici kullandığımızda 5V’luk bir değeri 5/2^10’ luk bir hassasiyet ile ölçeriz. Yazılımda seçtiğimiz analog/dijital çevirici bit sayısına göre bir kodlama yapılması şarttır. Yine kullandığımız mikro denetleyicinin ölçüm miktarının en fazla 5V olacağı göz önünde bulundurulmalıdır.

Böyle bir ölçüm devresi için devre üzerinde nem sensörü girişi için klemens kullanılması tasarım açısından yararlı olacaktır. Uzatma kabloları platin çubuklara lehimlenmeli ve bu kabloların çevre şartlarından izalasyonlu olmaları şarttır. Ölçümün sağlığı için lehim bağlantılarını koruma maddeleri ile kaplamak ve uzatma kablolarını birbirine sarmak yararlı olacaktır.

Can EROL